Question

设O为复平面的原点，Z₁和Z₂为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z₁和Z₂所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ；
（2）△OZ₁Z₂的面积为定值S求△OZ₁Z₂的重心Z所对应的复数的模的最小值．

Answer

设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．
【解析】
设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中
z1=r1（coθ+isinθ），
z2=r2（coθ-isinθ）．
由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，
则有3z=z1+z2=（r1+r2）cosθ+（r1-r2）isinθ．
于是|3z|2=（r1+r2）2cos2θ+（r1-r2）2sin2θ
=（r1-r2）2cos2θ+4r1r2cos2θ+（r1-r2）2sin2θ
=（r1-r2）2+4r1r2cos2θ
又知△OZ1Z2的面积为定值S及，
所以，即
由此，
故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．