Question

设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m是整数}，
C={（x，y）|x²+y²≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

Answer

A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线．
A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点，
故只需联力方程，△≥0得a，b的关系式，
再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可．
【解析】
据题意，知
A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}
B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}
假设存在实数a，b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组
y=ax+b
y=3x2+15 有解，且x∈Z．
消去y，方程组化为 3x2-ax+15-b=0．①
∵方程①有解，
∴△=a2-12（15-b）≥0．
∴-a2≤12b-180．②
又由（2），得 a2+b2≤144．③
由②+③，得 b2≤12b-36．
∴（b-6）2≤0
∴b=6．
代入②，得 a2≥108．
代入③，得 a2≤108．
∴a2=108．a=±6√3
将a=±6，b=6代入方程①，得
3x2±6x+9=0．
解之得 x=±，与x∈Z矛盾．
∴不存在实数a，b使（1）（2）同时成立．