已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，...

已知曲线y=x³-6x²+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x，y），把x代入到导函数中求出切线方程的斜率，根据P点坐标和斜率写出切线的方程，令x等于0表示出切线在y轴上的截距r，求出r′，判断r′大于0得到r为增函数，得到r在x=0处取到最小值，把x=0代入r求出最小值即可．【解析】已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y'=3x2-12x+11 在曲线上任取一点P（x，y），则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x2-12x+11 点P处切线方程是y=（3x2-12x+11）（x-x）+y 设这切线与y轴的截距为r，则 r=（3x2-12x+11）（-x）+（x3-6x2+11x-6）=-2x3+6x2-6 根据题意，要求r（它是以x为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为r'=-6x2+12x=-6x（x-2）当0＜x＜2时r'＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x=0处取到最小值，即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6

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考点分析：

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设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m是整数}，
C={（x，y）|x²+y²≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

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