Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，点E在棱CC₁上．
（1）若B₁E⊥BC₁，求证：AC₁⊥平面B₁D₁E．
（2）设，问是否存在实数λ，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由图形及题设条件知可证A1C1⊥B1D1，B1E⊥AC1，从而得出AC1⊥平面B1D1E．
（2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，若两平面垂直则法向量内积为0，利用此方程求参数，若能求出则存在，否则不存在，解答本题时注意答题格式．
（1）证明：连接A1C1，因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以A1C1⊥B1D1，
又A1C1是AC1在底面A1B1C1D1内的射影，因此B1D1⊥AC1，（2分）
同理，BC1是AC1在平面BCC1B1内的射影，
因为B1E⊥BC1，所以B1E⊥AC1，
又B1D1∩B1E=B1，所以AC1⊥平面B1D1E（3分）

（2）【解析】
存在实数λ，使得平面AD1E⊥平面B1D1E，证明如下：
因为，所以，因为，
不妨设AB=1，则AA1=2，以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立坐标系，
则，（2分）
设平面AD1E的一个法向量为n1，由得一个，
同理得平面D1B1E的一个法向量，（3分）
令n1•n2=0，即，
解得λ=1，
所以存在实数λ=1，使得平面AD1E⊥平面B1D1E（2分）