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如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点为A(0,manfen5.com 满分网),且离心率等于manfen5.com 满分网,过点M(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆相交于P,Q不同两点(与点B不重合),椭圆与x轴的正半轴相交于点B.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网,求直线l的方程.

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(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,由题设条件求出b2和a2,由此可以求出椭圆的标准方程. (Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k2)x2+16kx+8=0,依题意有△=(16k)2-4×(1+4k2)×8>0,由此解得或.设P(x1,y1),Q(x2,y2),再由根与系数和关系和,能够求出直线l的方程. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆的标准方程为(1分) 因为它的一个顶点为A(0,),所以b2=2,由离心率等于, 得=,解得a2=8, 所以椭圆的标准方程为(4分) (Ⅱ)由已知设直线l的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立消去y得(1+4k2)x2+16kx+8=0, 依题意有△=(16k)2-4×(1+4k2)×8>0,解得或(2分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则, 且,由 得(2分) 于是, 整理得, 解得或,又, 但时,此时点Q与点B重合,舍去,所以直线l的方程是(3分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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