Question

已知函数f（x）=klnx+（k-1）x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）存在最大值M，且M＞0，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对k的大小进行分类讨论，进而确定函数的单调性．
（Ⅱ）根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由题意得，
当k≤0时，由x＞0知恒成立，
此时f（x）在定义域内单调递减；
当k≥1时，由x＞0知恒成立，
此时f（x）在定义域内单调递增；
当0＜k＜1时，由f′（x）＞0，
得，
由f′（x）＜0，
解得，
此时f（x）在内单调递增，在内单调递减，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且
当k≤0或k≥1时，f（x）在定义域内单调，
此时函数f（x）无最大值，
又当0＜k＜1时，f（x）在内单调递增，在内单调递减，
所以当0＜k＜1时函数f（x）有最大值，
因为M＞0，所以有，
解得，
因此k的取值范围是（e为自然对数的底）．