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已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m. (1)解关于x的不等...

已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.
(1)不等式转化为|x-2|+|a-1>0,对参数a进行分类讨论,分类解不等式; (2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,可转化为不等式|x-2|+|x+3|>m恒成立,利用不等式的性质求出|x-2|+|x+3|的最小值,就可以求出m的范围. 【解析】 (Ⅰ)不等式f(x)+a-1>0即为|x-2|+a-1>0, 当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞); 当a>1时,解集为全体实数R; 当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞). (Ⅱ)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立, 即|x-2|+|x+3|>m恒成立,(7分) 又由不等式的性质,对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5, 故m的取值范围是(-∞,5).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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