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已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R) (Ⅰ)求函数f...

已知函数f(x)=2manfen5.com 满分网sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,manfen5.com 满分网]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)=manfen5.com 满分网,x∈[manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网],求cos2x的值.
先将原函数化简为y=Asin(ωx+φ)+b的形式 (1)根据周期等于2π除以ω可得答案,又根据函数图象和性质可得在区间[0,]上的最值. (2)将x代入化简后的函数解析式可得到sin(2x+)=,再根据x的范围可求出cos(2x+)的值, 最后由cos2x=cos(2x+)可得答案. 【解析】 (1)由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x)-1)=sin2x+cos2x=2sin(2x+) 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]上为增函数,在区间[,]上为减函数, 又f(0)=1,f()=2,f()=-1,所以函数f(x)在区间[0,]上的最大值为2,最小值为-1. (Ⅱ)由(1)可知f(x)=2sin(2x+) 又因为f(x)=,所以sin(2x+)= 由x∈[,],得2x+∈[,] 从而cos(2x+)=-=-. 所以 cos2x=cos[(2x+)-]=cos(2x+)cos+sin(2x+)sin=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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