(1)利用等差数列的性质可得,联立方程可得a3,a4,代入等差数列的通项公式可求an
(2)代入等差数列的前n和公式可求sn,进一步可得bn,然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3,从而可求c
(3)要证原不等式A>B⇔A>M,B<M,分别利用二次函数及均值不等式可证.℃
【解析】
(1)an为等差数列,a3•a4=117,a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根,d>0
∴a3=9,a4=13
∴
∴d=4,a1=1
∴an=1+(n-1)×4=4n-3
(2)由(1)知,
∵
∴,,,
∵bn是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,
∴(c=0舍去),
(3)由(2)得,
2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4≥4,
但由于n=1时取等号,从而等号取不到2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4>4,
∴,
n=3时取等号(15分)
(1)、(2)式中等号不能同时取到,所以.