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已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3•a4=117,a2+...

已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3•a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列an的通项公式an
(2)若数列bn是等差数列,且manfen5.com 满分网,求非零常数c;
(3)若(2)中的bn的前n项和为Tn,求证:manfen5.com 满分网
(1)利用等差数列的性质可得,联立方程可得a3,a4,代入等差数列的通项公式可求an (2)代入等差数列的前n和公式可求sn,进一步可得bn,然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3,从而可求c (3)要证原不等式A>B⇔A>M,B<M,分别利用二次函数及均值不等式可证.℃ 【解析】 (1)an为等差数列,a3•a4=117,a2+a5=22 又a2+a5=a3+a4=22 ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根,d>0 ∴a3=9,a4=13 ∴ ∴d=4,a1=1 ∴an=1+(n-1)×4=4n-3 (2)由(1)知, ∵ ∴,,, ∵bn是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0, ∴(c=0舍去), (3)由(2)得, 2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4≥4, 但由于n=1时取等号,从而等号取不到2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4>4, ∴, n=3时取等号(15分) (1)、(2)式中等号不能同时取到,所以.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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