Question

在双曲线的一支上不同的三点A（x₁，y₁）、B（，6）、C（x₂，y₂）与焦点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₂；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标．

Answer

（1）由双曲线的焦半径公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，可求出y1+y2的值．
（2）借助点差法求出AC的垂直平分线方程为，由此可以得到不论为何值，直线恒过定点．
【解析】
（1）由题设知，A、B、C在双曲线的同一支上，且y1，y2均大于0，
∴由双曲线的焦半径公式可知|AF|=，|BF|=，|CF|=，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，∴，
∴y1+y2=12．
（2）证明：∵A，C在双曲线上，∴，且．两式相减得，
于是AC的垂直平分线方程为，即，
∴y=-．
∴不论为何值，直线恒过定点．