Question

已知双曲线的左右两个焦点分别是F₁，F₂，P是它左支上的一点，P到左准线的距离为d．
（1）若y=x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由；
（2）在已知双曲线的左支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列的P点存在时，求离心率e的取值范围．

Answer

（1）假设存在点P（x，y）满足题中条件，根据渐近线方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系求得e；进而根据求得|PF2|=2|PF1|，求得准线方程，表示出|PF1|和|PF2|，根据双曲线的定义可知|PF1|=-（a+ex），|PF2|=a-ex，进而求得x，代入双曲线方程求得y，则P点坐标可得．
（2）根据双曲线的定义可知|PF1|=ed，|PF2|=|PF1|+2a=ed+2a，进而根据d，|PF1|，|PF2|成等比数列推断（ed）2=ed2+2ad，将e=和P的坐标代入根据x1≤-a，求得 a2+2ac-c2≥0整理后可求得离心率e的范围．
【解析】
（1）假设存在点P（x，y）满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y=x，∴=，b=a，∴b2=3a2，c2-a2=3a2，e==2．
由=2得，
|PF2|=2|PF1|①
∵双曲线的两准线方程为x=±，
∴|PF1|=|2x+2|=|2x+a|，|PF2|=|2x-|=|2x-a|．
∵点P在双曲线的左支上，
∴|PF1|=-（a+ex），|PF2|=a-ex，代入①得：a-ex=-2（a+ex），
∴x=-，代入双曲线方程得y=±．
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列，点P的坐标是（-，±）．
（2）|PF1|=ed，
∵d，|PF1|，|PF2|成等比数列
∴（ed）2=ed2+2ad  由（1）得x1=，将e=和P的坐标代入．．
因为x1≤-a．整理可得 a2+2ac-c2≥0
两边同除c2．得e2-2e-1≤0．所以1-＜e＜+1
∵e＞1
∴e∈（1，1+）