Question

设P是双曲线右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证．

Answer

设出内切圆的圆心及它与x 轴的切点N，半径为r，则M与N有相同的横坐标，由双曲线的定义及切线长定理得到N到2个焦点的距离，计算2个半角的正切值，等式得到证明．
【解析】
P是双曲线右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，
∴a=2，b=2，c=4，F1（-4，0），F2（4，0），
设△PF1F2的内切圆圆心为M，内切圆与x 轴的切点为N，半径为r，则M与N有相同的横坐标，
由双曲线的定义|pF1|-|PF2|=4，及切线长定理得，|NF1|-|NF2|=4，
又|NF1|+|NF2|=2c=8，∴|NF1|=6，|NF2|=2，
则tan==，tan==，
∴．