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高中数学试题
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如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线...
如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
时，求双曲线离心率c的取值范围．
首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x和y的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围． 【解析】 如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴． 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称， 依题意，记， 其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高， 由定比分点坐标公式得， ． 设双曲线的方程为，则离心率， 由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，① ．② 由①式得，③ 将③式代入②式，整理得， 故 由题设得，， 解得， 所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．
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考点分析：
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设P是双曲线
右分支上任意一点，F
1
，F
2
分别为左、右焦点，设∠PF
1
F
2
=α，∠PF
2
F
1
=β（如图），求证
．
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已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．
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求与双曲线
有共同渐近线，并且经过点（-3，
）的双曲线方程．
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求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）经过两点（
），（
）；
（2）双曲线过点（3，9
），离心率
．
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已知双曲线
的左右两个焦点分别是F
1
，F
2
，P是它左支上的一点，P到左准线的距离为d．
（1）若y=
x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF
1
|，|PF
2
|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由；
（2）在已知双曲线的左支上，使d，|PF
1
|，|PF
2
|成等比数列的P点存在时，求离心率e的取值范围．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
时，求双曲线离心率c的取值范围．
的左右两个焦点分别是F1，F2，P是它左支上的一点，P到左准线的距离为d．
x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF1|，|PF2|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由；
右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β（如图），求证
．
有共同渐近线，并且经过点（-3，
）的双曲线方程．
），（
）；
），离心率
．