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已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切...

已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线manfen5.com 满分网相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
(Ⅰ)由题意知,所以a2=4b2,由此可知椭圆C的方程为. (Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x-4).由题设得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-4=0.由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是:. (Ⅲ)设点N(x1,y1),E(x2,y2),则M(x1,-y1).直线ME的方程为.令y=0,得.由此入手可知直线ME与x轴相交于定点(1,0). 【解析】 (Ⅰ)由题意知, 所以,即a2=4b2,∴a=2b 又因为,∴a=2,故椭圆C的方程为.(4分) (Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x-4). 由得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-4=0.①(6分) 由△=(-32k2)2-4(4k2+1)(64k2-4)>0,得12k2-1<0,∴(8分) 又k=0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是:.(9分) (Ⅲ)设点N(x1,y1),E(x2,y2),则M(x1,-y1). 直线ME的方程为.令y=0,得.(11分) 将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入整理,得.② 由①得,代入②整理,得x=1.(13分) 所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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