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己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3). ...

己知斜率为1的直线l与双曲线C:manfen5.com 满分网相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
(Ⅰ)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率. (Ⅱ)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含a的代数式表示,即可求得a,则A点坐标可得(1,0),由于A在x轴上所以,只要证明2AM=BD即证得. 【解析】 (Ⅰ)由题设知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程,并化简, 得(b2-a2)x2-4a2x-a2b2-4a2=0, 设B(x1,y1),D(x2,y2),则,,① 由M(1,3)为BD的中点知. 故,即b2=3a2,② 故, ∴C的离心率. (Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0), . 故不妨设x1≤-a,x2≥a, ,, |BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8. 又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17. 解得a=1,或(舍去), 故=6, 连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴, 因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切, 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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