Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²+1，在x=1处有极值为11，则f（-1）=（ ）
A．3
B．7或21
C．31
D．3或31

Answer

根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0
又因为f（1）=11，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将-1代入求出答案．
【解析】
∵f′（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2+1，在x=1处有极值为11
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2+1=11
解得：，或，
∴f（x）=x3-3x2+3x+10或f（x）=x3+4x2-11x+17
∴f（-1）=3或31．
故选D．