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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+1,在x=1处有极值为11,则f(-...

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+1,在x=1处有极值为11,则f(-1)=( )
A.3
B.7或21
C.31
D.3或31
根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0 又因为f(1)=11,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将-1代入求出答案. 【解析】 ∵f′(x)=3x2+2ax+b, 又∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+1,在x=1处有极值为11 ∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2+1=11 解得:,或, ∴f(x)=x3-3x2+3x+10或f(x)=x3+4x2-11x+17 ∴f(-1)=3或31. 故选D.
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