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已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=6,M...

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=6,M,N分别为PB,AB的中点,设AC和BD相交于点O
(Ⅰ)证明:OM∥底面PAD;
(Ⅱ)若DF⊥PA且交PA于F点,证明DF⊥平面PAB;
(Ⅲ)求四面体D-MNB的体积
(Ⅰ)要证明:OM∥底面PAD,只要证明OM∥PD即可. (Ⅱ)要证明DF⊥平面PAB;已知DF⊥PA,证明DF⊥AB即可. (Ⅲ)求四面体D-MNB的体积,直接求出底面MNB的面积,再求D到底面MNB的距离即可. 【解析】 (Ⅰ)由已知易知OM是△BDP的中位线, ∴OM∥PD. ∵OM⊄面PAD,PD⊂面PAD ∴OM∥面PAD (另证:也可先证明平面OMN∥平面DPA) (Ⅱ)PD⊥底面ABCD, ∴AB⊥PD,又AB⊥AD,、AD∩PD=D, ∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB, ∴平面PAD⊥平面PAB, 又平面PAD∩平面PAB=PA,DF⊥PA,DF⊂平面PAD, ∴DF⊥平面PAB (Ⅲ)由(Ⅱ)知DF⊥平面PAB, ∴四面体D-MNB的高为DF, 在Rt△PDA中,DF=, 由AB⊥平面PAD,得AB⊥PA,又MN∥PA, ∴MN⊥NB,, =,=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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