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在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连接原点...

在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连接原点O与点An(n,n+3),若用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数,则f(1)+f(2)+…+f(2010)=   
因为线段OAn斜率k=,方程为y=x+,所以n为3的倍数,才能找出比n小的整数x,使得y也为整数.由此入手能够求出f(1)+f(2)+…+f(2010)的值. 【解析】 ∵线段OAn斜率k=,方程为y=x+, ∴n为3的倍数,才能找出比n小的整数x,使得y也为整数. ∴当n=3,6,9,12,…,2010时,线段OAn上有除端点外的2个整点. 数列3,6,9,12,…,2010是首项为3,公差为3的等差数列,其通项公式为am=3m. 由3m=2010知m=670,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=2×670=1340.
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