Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求点D到平面A₁BC₁的距离．

Answer

（1）设A1A=h，根据求得h，则A1A的长可得．
（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D，A1，B，C1坐标可知，设平面A1BC1的法向量，根据，求得和，联立方程组求得v和u，取w=2，得平面的一个法向量．在平面A1BC1上取点可得向量，进而求得点D到平面A1BC1的距离
【解析】
（1）设A1A=h，由题设，
得，
即，
解得h=3．
故A1A的长为3．
（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知D（0，0，0），A1（2，0，3），B（2，2，0），C1（0，2，3），
设平面A1BC1的法向量为，有，，
其中，，
则有即
解得，，
取w=2，得平面的一个法向量，且．
在平面A1BC1上取点C1，可得向量=（0，2，3）
于是点D到平面A1BC1的距离．