Question

如图，反比例函数y=f（x）（x＞0）的图象过点A（1，4）和B（4，1），点P（x，y）为该函数图象上一动点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．记四边形OCPD（O为坐标原点）与三角形OAB的公共部分面积为S．
（1）求S关于x的表达式；
（2）求S的最大值及此时x的值．

Answer

（1）根据图象求得反比例函数模型，由题设，得（x＞0），再分x≤1时，1＜x＜4时，x≥4时三种情况求得其面积建立模型．
（2）根据（1）函数是分段函数每一段根据函数的特点取得取大值，然后从中取最大的，作为原函数的最大值．
【解析】
（1）由题设，得（x＞0），（2分）
当x≤1时，，
当1＜x＜4时，，
当x≥4时，，
故（8分）
（2）易知当x≤1时，为单调递增函数，，（10分）
当x≥4时，为单调递减函数，，（12分）
当1＜x＜4时，在区间（1，2）上单调递增，在区间（2，4）上单调递减，得，
故S的最大值为3，
此时x=2．（16分）