满分5 > 高中数学试题 >

已知椭圆C:(a>b>0),其焦距为2c,若(≈0.618),则称椭圆C为“黄金...

已知椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0),其焦距为2c,若manfen5.com 满分网(≈0.618),则称椭圆C为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)中,a、b、c成等比数列.
(2)黄金椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)的右焦点为F2(c,0),P为椭圆C上的任意一点.是否存在过点F2、P的直线l,使l与y轴的交点R满足manfen5.com 满分网?若存在,求直线l的斜率k;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
(1)由及b2=a2-c2,求得b与ac的关系,根据等比中项的性质可推断a、b、c成等比数列. (2)设直线l的方程为y=k(x-c),进而可表示出R的坐标根据及,进而表示出P的坐标,把P点代入椭圆的方程整理后可解得k存在,求出k. (3)根据“黄金双曲线”的定义写出真命题.依题意可知直线EF2的方程为bx+cy-bc=0,再根据点到直线的距离化简后求得d=a,进而可知 直线EF2与圆x2+y2=a2相切,同理可证直线EF1、DF1、DF2均与圆x2+y2=a2相切,命题得证. 【解析】 (1)证明:由及b2=a2-c2,得=ac, 故a、b、c成等比数列. (2)【解析】 由题设,显然直线l垂直于x轴时不合题意,设直线l的方程为y=k(x-c), 得R(0,-kc),又F2(c,0),及, 得点P的坐标为, 因为点P在椭圆上, 所以, 又b2=ac,得,, 故存在满足题意的直线l,其斜率. (3)在黄金双曲线中有真命题:已知黄金双曲线C:的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),以F1(-c,0)、F2(c,0)、D(0,-b)、E(0,b)为顶点的菱形F1DF2E的内切圆过顶点A(-a,0)、B(a,0). 证明:直线EF2的方程为bx+cy-bc=0,原点到该直线的距离为, 将b2=ac代入,得,又将代入, 化简得d=a, 故直线EF2与圆x2+y2=a2相切, 同理可证直线EF1、DF1、DF2均与圆x2+y2=a2相切, 即以A(-a,0)、B(a,0)为直径的圆x2+y2=a2为菱形F1DF2E的内切圆,命题得证.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,反比例函数y=f(x)(x>0)的图象过点A(1,4)和B(4,1),点P(x,y)为该函数图象上一动点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为C、D.记四边形OCPD(O为坐标原点)与三角形OAB的公共部分面积为S.
(1)求S关于x的表达式;
(2)求S的最大值及此时x的值.

manfen5.com 满分网 查看答案
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10.
(1)求棱A1A的长;
(2)求点D到平面A1BC1的距离.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个虚根x1,x2,且manfen5.com 满分网(i为虚数单位),|x1-x2|=1,求实数b的值、
查看答案
已知曲线C:manfen5.com 满分网,下列叙述中错误的是( )
A.垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
B.直线y=kx+m(k,m∈R)与曲线C最多有三个交点
C.曲线C关于直线y=-x对称
D.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)为曲线C上任意两点,则有manfen5.com 满分网
查看答案
若函数f(x)(x∈R)为奇函数,且存在反函数f-1(x)(与f(x)不同),manfen5.com 满分网,则下列关于函数F(x)的奇偶性的说法中正确的是( )
A.F(x)是奇函数非偶函数
B.F(x)是偶函数非奇函数
C.F(x)既是奇函数又是偶函数
D.F(x)既非奇函数又非偶函数
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.