Question

已知函数f（x）=a²x²+ax-（a＞0），函数g（x）=lnx．
（1）若函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求a的值；
（2）在区间（0，1]上存在x，使f（x）＜g（x）（8），求a的取值范围．

Answer

（1）设公共点为M（x，y），则f′（x）=g′（x），f（x）=g（x），联立两方程即可求解．
（2）设u（x）=f（x）-g（x），则u（x）＜0，进而求解a的范围．
【解析】
（1）依题意设函数f（x）与函数g（x）的图象的公共点为M（x，y），
则，
由①得（2ax-1）（ax+1）=0∵a＞0，x＞0∴x=，
代入②得a=．
（2）令u（x）=f（x）-g（x）=a2x2+ax-lnx-，x∈（0，1]，
若存在x∈（0，1]，使f（x）＜g（x），即u（x）＜0成立，只需u（x）min＜0，
由u'（x）=2a2x+a-（x∈（0，1]，a＞0）知若0＜a≤，
则u'（x）≤0对于x∈（0，1]恒成立，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，
而u（x）min=u（1）=a2+a-＜0显然成立，
∴0＜a≤；
若，同理=ln2a-1＜0∴；
若a≥，同理=ln2a-1≥0不合题意综合得0＜a＜．