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若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则a的范围是 .

若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则a的范围是    
由f(x)的解析式求出f(x)的导函数,因为函数在R上单调递增,所以得到导函数大于等于0恒成立,分a大于0,a等于0和a小于0三种情况讨论,利用二次函数的图象与x轴的交点及开口方向即可得到根的判别式的正负,得到关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围. 【解析】 由函数f(x)=ax3-x2+x-5,得到f′(x)=3ax2-2x+1, 因为函数在R上单调递增,所以f′(x)≥0恒成立,即3ax2-2x+1≥0恒成立, 设h(x)=3ax2-2x+1, 当a>0时,h(x)为开口向上的抛物线,要使h(x)≥0恒成立即△=4-12a≤0,解得a≥; 当a=0时,得到h(x)=-2x+1≥0,解得x≤,不合题意; 当a<0时,h(x)为开口向下的抛物线,要使h(x)≥0恒成立不可能. 综上,a的范围为[,+∞). 故答案为:[,+∞)
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