Question

方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是    ．

Answer

首先分析充分性，根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆，必有m＜或m＞1，再分析必要性，
化简x2+y2+4mx-2y+5m=0可得（x+2m）2+（y-1）2=16m2+4-20m，若有m＜或m＞1，可得16m2+4-20m＞0，即方程表示圆，综合可得答案．
【解析】
根据二元二次方程表示圆的条件，
若方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆，必有16m2+4-20m＞0，
解可得，m＜或m＞1，
即x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充分条件是m＜或m＞1，
反之，若有m＜或m＞1，
则x2+y2+4mx-2y+5m=0⇔（x+2m）2+（y-1）2=16m2+4-20m，
分析可得，16m2+4-20m＞0，
则x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆，
则x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的必要条件是m＜或m＞1，
综合可得，方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是m＜或m＞1．