Question

正四面体的各顶点为A₁，A₂，A₃，A₄，进入某顶点的动点X不停留在同一个顶点上，每隔1秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动．n秒后X在A_i（i=1，2，3，4）的概率用P_i（n）（n=0，1，2…）表示．当，，时，
（1）求P₂（1），P₂（2）；
（2）求P₂（n）与P₂（n-1）的关系（n∈N^*）及P₂（n）关于n的表达式，P₁（n）关于n的表达式．

Answer

（1）P2（1）即1秒后动点在A2的概率，它有三种情况：开始时（0秒）在A1，1秒后移动到A2；开始时在A3，1秒后移动到A2；开始时在A4，1秒后移动到A2．根据这三种结果互斥得到结论．
（2）n秒后动点在A2，即n-1秒后动点不在A2，其概率为1-P2（n-1），得到概率之间的关系是数列递推关系，从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的办法解决．
【解析】
（1）P2（1）即1秒后动点在A2的概率，它有三种情况；
①开始时（0秒）在A1，1秒后移动到A2；
由题意知，每隔1秒钟动点X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；
所以这种情况的概率为：P1（0）×=；
②开始时在A3，1秒后移动到A2；其概率为：P3（0）×=；
③开始时在A4，1秒后移动到A2；其概率为：P4（0）×=；
又这三种情况互斥，
∴P2（1）=++=．
我们设想一下，如果仍然按这个办法计算P2（2），
将不胜其烦，因为首先要算P1（1）、P3（1）、P4（1）；
事实上1秒后动点在A2，即开始时（0秒）动点不在A2，其概率为：1-P2（0）=，
而每隔1秒钟动点X从一个顶点移动到另一个顶点的概率均为；
所以P2（1）=×=．类似的，2秒后动点在A2，
即1秒后动点不在A2，其概率为：1-P2（1）=，
∴P2（2）=×=；
（2）n秒后动点在A2，即n-1秒后动点不在A2，
其概率为：1-P2（n-1），
∴P2（n）=[1-P2（n-1）]×．
至此，问题化归为数列问题．即：已知数列{P2（n）}满足：
P2（n）=-P2（n-1）+，求通项公式．
用待定系数法构造等比数列，
设P2（n）+x=-[P2（n-1）+x]，得x=，可见
数列{P2（n）}是以-为公比的等比数列，其首项为P2（1）=
∴P2（n）=，P2（n）=．
完全类似地，可得P1（n）=-P1（n-1）+，于是有P1（n）=-[P1（n-1）]
但P1（1）=0，
∴数列{P1（n）}是常数列，即P1（n）=．