Question

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若＜t＜2，b_n=（n∈N^*），求证：++…+＜2ⁿ-．

Answer

（1）本题求数列的通项公式，关键是构造数列{an+1-an}，再利用等比数列的通项公式求出即可，要注意对t的讨论．
（2）已知bn，求出=（tn+t-n），，接下来的关键是利用t的范围，判断2n+2-n＞tn+t-n，也就求出＜（2n+2-n），从而求出++…+＜2n-（1+），再利用均值不等式1+＞2的值，即可证明．
【解析】
（1）由题意得：f′（）=0，
即3an-1t-3[（t+1）an-an+1]=0
故an+1-an=t（an-an-1）（n≥2），
则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项，t为公比的等比数列，
所以an+1-an=（t2-t）tn-1
由an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=t+（t2-t）[1+t+t2+…+tn-2]
=t+（t2-t）•=tn
此式对t=1也成立，所以an=tn（n∈N*）．
（2）=（an+）=（tn+t-n），
因为＜t＜2，所以（2t）n＞1，tn＜2n．
则（2n+2-n）-（tn+t-n）=（2n-tn）[（2t）n-1]＞0，
有＜（2n+2-n），
故++…+＜[（2+）+（22+）+…+（2n+）]=2n-（1+），
∵1+＞2
∴++…+＜2n-=2n-即证．