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已知函数f(x)=Cnx2n-1-Cn1x2n+Cn1x2n+1-…+Cnr(-...

已知函数f(x)=Cnx2n-1-Cn1x2n+Cn1x2n+1-…+Cnr(-1)rx2n-1+r+…+Cnnx3n-1,其中n(n∈N+).
(1)求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)设函数f(x)取得极大值时x=an,令bn=2-3an,Sn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,若p≤Sn<q对一切n∈N+恒成立,求实数p和q的取值范围.
(1)利用二项式定理化简f(x),求出导函数,令导函数为0求根,判断根两侧的导函数符号,求出极值. (2)利用数列的求和方法:裂项法求出Sn,求出Sn的范围即为p,q值. 【解析】 (1)f(x)=x2n-1[Cn-Cn1x+Cn2x2-+Cnr(-1)rxr+Cnnxn]=x2n-1(1-x)n, f'(x)=(2n-1)x2n-2(1-x)n-x2n-1•n(1-x)n-1=x2n-2(1-x)n-1[2n-1-(3n-1)x]. 令f'(x)=0,从而x1<x2<x3.当n为偶数时f(x)的增减如下表 所以当x=时,y极大=;当x=1时,y极小=0. 当n为奇数时f(x)的增减如下表 所以当x=时,y极大=. (2)由(1)知f(x)在x=时取得最大值.所以an=,bn=2-3an=,=.,∴,即; 所以实数p和q的取值范围分别是,.
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考点分析:
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(1)求数列{an}的通项公式;
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②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);
④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),
其中成立的是( )
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C.①与③
D.②与④
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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