(1)根据等比数列的通项公式可求得an,代入求得bn+1-bn为常数,进而判断出数列{bn}是等差数列.
(2)由(1)可分别求得an和bn,进而求得Cn进而用错位相减法进行求和.
(3)把(2)中的Cn,代入Cn+1-Cn结果小于0,进而判断出当n≥2时,Cn+1<Cn,进而可推断出当n=1时,Cn取最大值,问题转化为≥,求得m的取值范围.
【解析】
(1)由题意知,an=()n.
∵,
∴b1=1
∴bn+1-bn=3an+1=3an=3=3q=3
∴数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列.
(2)由(1)知,an=()n.bn=3n-2
∴Cn=(3n-2)×()n.
∴Sn=1×+4×()2+…+(3n-2)×()n,
于是Sn=1×()2+4×()3+…(3n-2)×()n+1,
两式相减得Sn=+3×[()2+()3+…+()n)-(3n-2)×()n+1,
=-(3n-2)×()n+1,
∴Sn=-()n+1
(3)∵Cn+1-Cn=(3n+1)×()n+1-(3n-2)×()n=9(1-n)×()n+1,
∴当n=1时,C2=C1=
当n≥2时,Cn+1<Cn,即C2=C1>C3>C4<…>Cn
∴当n=1时,Cn取最大值是
又
∴≥
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5.