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已知数列{an}是首项为,公比的等比数列,设,数列{cn}满足cn=an•bn....

已知数列{an}是首项为manfen5.com 满分网,公比manfen5.com 满分网的等比数列,设manfen5.com 满分网,数列{cn}满足cn=an•bn
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn
(3)若manfen5.com 满分网对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
(1)根据等比数列的通项公式可求得an,代入求得bn+1-bn为常数,进而判断出数列{bn}是等差数列. (2)由(1)可分别求得an和bn,进而求得Cn进而用错位相减法进行求和. (3)把(2)中的Cn,代入Cn+1-Cn结果小于0,进而判断出当n≥2时,Cn+1<Cn,进而可推断出当n=1时,Cn取最大值,问题转化为≥,求得m的取值范围. 【解析】 (1)由题意知,an=()n. ∵, ∴b1=1 ∴bn+1-bn=3an+1=3an=3=3q=3 ∴数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列. (2)由(1)知,an=()n.bn=3n-2 ∴Cn=(3n-2)×()n. ∴Sn=1×+4×()2+…+(3n-2)×()n, 于是Sn=1×()2+4×()3+…(3n-2)×()n+1, 两式相减得Sn=+3×[()2+()3+…+()n)-(3n-2)×()n+1, =-(3n-2)×()n+1, ∴Sn=-()n+1 (3)∵Cn+1-Cn=(3n+1)×()n+1-(3n-2)×()n=9(1-n)×()n+1, ∴当n=1时,C2=C1= 当n≥2时,Cn+1<Cn,即C2=C1>C3>C4<…>Cn ∴当n=1时,Cn取最大值是 又 ∴≥ 即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5.
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考点分析:
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B.manfen5.com 满分网<k<0
C.0<k<manfen5.com 满分网
D.0<k<5
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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