Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

Answer

（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．
（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．
【解析】
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
∴事件A的概率为
（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），
∴，
∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是