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设向量 (1)若与垂直,求tan(α+β)的值; (2)求的最大值; (3)若t...

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(1)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求manfen5.com 满分网的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(1)先根据向量的线性运算求出,再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系,最后可求正切值. (2)先根据线性运算求出,然后根据向量的求模运算得到||的关系,最后根据正弦函数的性质可确定答案. (3)将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ,正是∥的充要条件,从而得证. 【解析】 (1)∵=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),与垂直, ∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ), ∴sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2. (2)∵=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), ∴||= =, ∴当sin2β=-1时,||取最大值,且最大值为. (3)∵tanαtanβ=16,∴,即sinαsinβ=16cosαcosβ, ∴(4cosα)•(4cosβ)=sinαsinβ, 即=(4cosα,sinα)与=(sinβ,4cosβ)共线, ∴∥.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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