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已知函数f(x)=x3+ax2+bx,且f′(-1)=0. (1)试用含a的代数...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网x3+ax2+bx,且f′(-1)=0.
(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间;
(2)令a=-1,设函数f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M (x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1<m<x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:
(Ⅰ)若对任意的t∈(x1,x2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;
(Ⅱ)若存在点Q(n,f(n)),x≤n<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程).
(1)欲求:“f(x)的单调区间”,对于三次函数而言,利用导数解决,本题还得对字母a进行讨论; (2)存在性问题,结合观察f(x)的图象,帮助分析问题. 【解析】 (1)依题意,得f′(x)=x2+2ax+b, 由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1 从而f(x)=x3+ax2+(2a-1)x, 故f′(x)=(x+1)(x+2a-1) 令f′(x)=0,得x=-1或x=1-2a ①当a>1时,1-2a<-1 当x变化时,根据f′(x)与f(x)的变化情况得, 函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞),单调减区间为(1-2a,-1) ②当a=1时,1-2a=-1,此时有f′(x)≥0恒成立,且仅在x=-1处f′(x)=0,故函数f(x)的单调增区间为R、 ③当a<1时,1-2a>-1,同理可得,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞), 单调减区间为(-1,1-2a) 综上:当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞),单调减区间为(1-2a,-1); 当a=1时,函数f(x)的单调增区间为R; 当a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞),单调减区间为(-1,1-2a) (2)(Ⅰ)由a=-1得f(x)=x3-x2-3x 令f′(x)=x2-2x-3=0得x1=-1,x2=3 由(1)得f(x)增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减区间为(-1,3), 所以函数f(x)在处x1=-1,x2=3处取得极值,故M(-1,),N(3,-9) 观察f(x)的图象,有如下现象: ①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f′(m)的值由正连续变为负、 ②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-f′(m)的m正负有着密切的关联; ③Kmp-f′(m)=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp-f′(m)的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值、曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率f′(m)=m2-2m-3; 线段MP的斜率Kmp=, 当Kmp-f′(m)=0时,解得m=-1或m=2, 直线MP的方程为y=(x+), 令g(x)=f(x)-(x+), 当m=2时,g′(x)=x2-2x在(-1,2)上只有一个零点x=0,可判断f(x)函数在(-1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,又g(-1)=g(2)=0,所以g(x)在(-1,2)上没有零点,即线段MP与曲线f(x)没有异于M,P的公共点、 当m∈(2,3]时,g(0)=->0, g(2)=-(m-2)2<0, 所以存在δ∈(0,2]使得g(δ)=0, 即当m∈(2,3]时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点 综上,t的最小值为2. (Ⅱ)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为(1,3].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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