Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求证：DM∥平面PCB．

Answer

（1）由题意取AD的中点G，连接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，证出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（2）由题意取PB的中点F，连接MF、CF，由中位线和题意证出CDMF是平行四边形，得到DM∥CF，由线面平行的判定定理得DM∥平面PCB．
【解析】
（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．
∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（6分）
（2）取PB的中点F，连接MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（10分）
∴四边形CDMF是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB
∴DM∥平面PCB．（12分）