Question

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．其中a，b∈R．
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）在（1）的条件下求b的最大值；
（3）若b=0时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

Answer

（1）设公共点（x，y），根据题意得到，f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），解出b关于a的函数关系式；
（2）令b'（a）=0，得a=，经过判断当a=时，b（a）为极大值，即b的最大值；
（3）根据已知h（x）为单调函数，则h′（x）≥0或h′（x）≤0，解出a的取值范围即可．
【解析】
（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x，y）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=．
由题意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即，
解得x=a或x=-3a（舍去），
b=-3a2lna（a＞0）
（2）b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）．
令b'（a）=0，则，当a变化时，b'（a）及b（a）的变化情况如下表：
所以，时，b（a）有最大值．
（3）h（x）=x2+3a2lnx-6x，h′（x）=x+-6
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+-6≤0或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+-6≤0在（0，4）上恒成立
⇔3a2≤-x2+6x在（0，4）上恒成立．
而-x2+6x＞0，且-x2+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立
⇔3a2≥（-x2+6x）max=9，得a≥或a≤-．
综上，所求a的取值范围为a≥或a≤-或a=0．