Question

球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）
A．4
B．2
C．2
D．

Answer

解法一：利用大小排除，
解法二：这三个点满足直角三角形，即可求解角的大小，进而求解R，
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故可以得到高，D是BC的中点．
在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．
解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，
则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，
OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，
故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA=R，所以2＜R＜4．
因此，排除A、C、D，得B．
解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2．
因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2．
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2．
故选B．