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如图,三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,∠ABC=90°. (1)求证:V、...

如图,三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,∠ABC=90°.
(1)求证:V、A、B、C四点在同一球面上;
(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直,求证:此平面截三棱锥所得的截面是矩形.

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(1)利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等,且直角三角形VAB和VBC有公共斜边. (2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q,证明截面MNPQ是矩形. 证明:(1)取VC的中点M, ∵VA⊥底面ABC,∠ABC=90°, ∴BC⊥VB.在Rt△VBC中,M为斜边VC的中点, ∴MB=MC=MV.同理,在Rt△VAC中,MA=MV=MC. ∴MV=MC=MA=MB. ∴V、A、B、C四点在同一圆面上,M是球心. (2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q, 连接NP、PQ、QM、MN,则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V-ABC的截面, 易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC,QP∥VA,NP∥BC,∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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