Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒又S_n=2a_n-n，
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）设，试判断数列{c_n}的单调性，并求数列{c_n}的最大项．

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1，求得数列的递推式，整理得an+1=2（an-1+1），进而判断出{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
（2）利用（1）中的条件可以求得Cn，进而求得Cn-Cn-1＜0，进而判断出数列{cn}单调递减．n=1时数列{cn}的最大项．
【解析】
（1）当n=1时，S1=2a1-1，得a1=1
∵Sn=2an-n，
∴当n≥2时，Sn-1=2aa-1-（n-1），
两式相减得：an=2an-2an-1-1，
∴an=2an-1+1
∴an+1=2an-1+2=2（an-1+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
（2）得an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，n∈N*
，
∴数列{cn}单调递减．∴n=1时数列{cn}的最大项为