Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞-1）上的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a取值范围．

Answer

（1）先求函数的定义域（-1，+∞），对函数求导可得，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0解得x的范围，即为函数的单调增区间和减区间
（2）讨论m的取值范围，确定函数f（x）在[m，m+1]上的单调性，结合单调性以确定函数在区间[m，m+1]上的最值
（3）由f（x）=x2+x+a在[0，2]有两不等的根⇒x-a+1-2ln（1+x）=0在区间[0，2]上有两不等的根，构造函数g（x）=x-a+1-2ln（1+x），对函数求导，由导数判断函数的单调减区间[0，1]，增区间[1，2]，从而可得求出a的取值范围
【解析】
（1）函数的定义域为（-1，+∞）．（1分）
∵f′（x）=2[（x+1）-=，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．（4分）

（2）①当m≥0时，f（x）在[m，m+1]是增加的
此时f（x）min=f（m）=（m+1）2-2ln（1+m）（6分）
②当-1＜m＜0时，f（x）在[m，0]是减少的、在[0，m+1]是增加的
此时f（x）min=f（0）=1

（3）方程f（x）=x2+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵g′（x）=1-，（9分）
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．（10分）
为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有
∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴a∈（2-ln2，3-2ln3]（12分）