Question

给出下列四个命题：
①“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③函数是偶函数；
④若对∀x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则4是该函数的一个周期，其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

由题意，依次分析可得，①符合特称命题的否定形式，正确；②分析可得f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由奇偶函数的性质可得x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，易得②正确；③将（-x）代入f（x）中，分析可得，f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，故错误；④根据题意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则4是该函数的一个周期，正确；进而可得答案．
【解析】
由题意，依次分析可得，
①、符合特称命题的否定形式，正确；
②、根据题意，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；又由奇函数在定义域内单调性相同，偶函数单调性相反，所以x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正确；
③、根据题意，f（-x）==-=-f（x），则f（x）是奇函数，错误；
④、根据题意，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则4是该函数的一个周期，正确；
综合可得，有3个命题正确，
故选C．