Question

如图，已知曲线．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为，求证

Answer

（I）由题意知，，由此可知
（II）由（I）可猜想，然后用数学归纳法证明．
（III）由题意知xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）++（x2-x1）+x1=，由此可知=，所以
【解析】
（I）由题意知，，
∴（2分）
（II）由（I）猜想，
下面用数学归纳法证明；
（1）当n=1时，已证得成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，
即，由已知得：
当n=k+1时，由
∵，
∴ak+1=（xk+1+2-k-1）-（xk+2-k）
=（xk+1-xk）+（2-k-1-2-k）
=2-k+（2-k-1-2-k）
=
所以当n=k+1时，猜想也成立，综合（1）（2）得（6分）
（III）xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）++（x2-x1）+x1=（8分）
∴=∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，∴，（10分）
∴（12分）