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如图,AB是⊙O的弦,C、F是⊙O上的点,OC垂直于弦AB,过F点作⊙O的切线交...

manfen5.com 满分网如图,AB是⊙O的弦,C、F是⊙O上的点,OC垂直于弦AB,过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D,连接CF交AB于E点.
(I)求证:DE2=DB•DA.
(II)若BE=1,DE=2AE,求DF的长.
本题考查的知识点是的切线的性质定理及与圆有关的比例线段,(1)要证明DE2=DB•DA.由切割线定理,我们可得DF2=DB•DA.故可以转化为DE=DF.连接OF后,根据周的等量关系,证明出∠DEF=∠DFE即可得到结论. (2)由BE=1,DE=2AE,结合(1)的结论,设AE=x,我们可以得到一个关于x的方程,解方程即可求解. 【解析】 (I)连接OF,∵OC=OF, ∵∠OCF=∠FOC, ∵DF是⊙O的切线, ∴OF⊥DF, 又∵OC垂直于弦AB, ∴∠AEC=∠DFE, ∴∠DEF=∠DFE, ∴DE=DF,∵DF是⊙O的切线, ∴DF2=DB•DA,∴DE2=DB•DA (II)设AE=x, 则DE=2x,DF=2x, ∵DF2=DB•DA, ∴(2x)2=3x(2x-1), 解得2x=3, ∴DF的长为3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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