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已知函数的极小值大于零,其中x∈R,θ∈[0,π]. (I)求θ的取值范围; (...

已知函数manfen5.com 满分网的极小值大于零,其中x∈R,θ∈[0,π].
(I)求θ的取值范围;
(II)若在θ的取值范围内的任意θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围;
(III)设manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,若f[f(x)]=x,求证:f(x)=x
(I)对函数求导得,f′(x)=12x2-6xsinθ,令,且由题意可知x1≠x2,依据题中的条件找出函数的极小值点为,函数的极小值大于零⇔ (II)由(I)知,函数f(x)增区间(-∞,0)与,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数⇒区间 (2a-1,a)⊆(-∞,0)或(2a-1,a)⊆(,+∞),从而求a的取值范围 (III)假设f(x)≠x则f(x)<x或f(x)>x,结合(II)函数在的单调性进行推理,得出矛盾 【解析】 (I)f'(x)=12x2-6xsinθ令f'(x)=0得 函数f(x)存在极值,sinθ≠0,(1分) 由θ∈[0,π]及(I),只需考虑sinθ>0的情况. 当x变化时,f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表: 因此,函数f(x)在处取得极小值,且=(3分) 要使>0,必有可得 所以θ的取值范围是(5分) (II)由(I)知,函数f(x)在区间(-∞,0)与内都是增函数. 由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则a须满足不等式组 ,或, ∵ ∴要使不等式关于参数θ恒成立,必有. 解得a≤0或,所以a的取值范围是.(8分) (III)用反证法证明: 假设f(x)≠x,则f(x)<x,或f(x)>x, ∵,, ∴,或 当时, ∵函数f(x)在区间内是增函数, ∴f[f(x)]<f(x),即x<f(x)矛盾; 当时, ∵函数f(x)在区间内是增函数, ∴f[f(x)]>f(x),即x>f(x)也矛盾; 故假设不成立,即f(x)=x成立.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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