(I)对函数求导得,f′(x)=12x2-6xsinθ,令,且由题意可知x1≠x2,依据题中的条件找出函数的极小值点为,函数的极小值大于零⇔
(II)由(I)知,函数f(x)增区间(-∞,0)与,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数⇒区间
(2a-1,a)⊆(-∞,0)或(2a-1,a)⊆(,+∞),从而求a的取值范围
(III)假设f(x)≠x则f(x)<x或f(x)>x,结合(II)函数在的单调性进行推理,得出矛盾
【解析】
(I)f'(x)=12x2-6xsinθ令f'(x)=0得
函数f(x)存在极值,sinθ≠0,(1分)
由θ∈[0,π]及(I),只需考虑sinθ>0的情况.
当x变化时,f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:
因此,函数f(x)在处取得极小值,且=(3分)
要使>0,必有可得
所以θ的取值范围是(5分)
(II)由(I)知,函数f(x)在区间(-∞,0)与内都是增函数.
由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则a须满足不等式组
,或,
∵
∴要使不等式关于参数θ恒成立,必有.
解得a≤0或,所以a的取值范围是.(8分)
(III)用反证法证明:
假设f(x)≠x,则f(x)<x,或f(x)>x,
∵,,
∴,或
当时,
∵函数f(x)在区间内是增函数,
∴f[f(x)]<f(x),即x<f(x)矛盾;
当时,
∵函数f(x)在区间内是增函数,
∴f[f(x)]>f(x),即x>f(x)也矛盾;
故假设不成立,即f(x)=x成立.(12分)