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如图,多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示,M,N分别为AF,BC的中点....

如图,多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示,M,N分别为AF,BC的中点.
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积;
(3)求证:CE⊥AF.

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(1)由多面体AEDBFC的三视图知,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形,由三角形中位线的性质得:MN∥EC,从而证得MN∥平面CDEF. (2)先证四边形CDEF是矩形,利用面面垂直的性质证明并求出棱锥的高,代入体积公式计算棱锥的体积. (3)由BC⊥平面ABEF,证明BC⊥AF,面ABFE是正方形,证得EB⊥AF,进而AF⊥面BCE,结论得证. 证明:(1):由多面体AEDBFC的三视图知, 三棱柱AED-BFC中,底面DAE是等腰直 角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABEF, 侧面ABFE,ABCD都是边长为2的正方形. 连接EB,则M是EB的中点, 在△EBC中,MN∥EC, 且EC⊂平面CDEF,MN⊄平面CDEF, ∴MN∥平面CDEF. (2)因为DA⊥平面ABEF,EF⊂平面ABEF,∴EF⊥AD, 又EF⊥AE,所以,EF⊥平面ADE, ∴四边形CDEF是矩形, 且侧面CDEF⊥平面DAE 取DE的中点H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴, 且AH⊥平面CDEF. 所以多面体A-CDEF的体积. (3)∵DA⊥平面ABEF,DA∥BC, ∴BC⊥平面ABEF, ∴BC⊥AF, ∵面ABFE是正方形, ∴EB⊥AF, ∴AF⊥面BCE, ∴CE⊥AF.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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