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已知数列{an}的各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项和,且4Sn=an2+...

已知数列{an}的各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项和,且4Sn=an2+2an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
(1)由题意知,解得a1=3,由此能够推出数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,所以an=3+2(n-1)=2n+1. (2)由题意知Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)•2n,2Tn=3×22+5×23+(2n-1)•2n+(2n+1)2n+1,二者相减可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值. 【解析】 (1)当n=1时,,解出a1=3, 又4Sn=an2+2an-3① 当n≥2时4sn-1=an-12+2an-1-3② ①-②4an=an2-an-12+2(an-an-1),即an2-an-12-2(an+an-1)=0, ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an+an-1>0∴an-an-1=2(n≥2), ∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,∴an=3+2(n-1)=2n+1. (2)Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)•2n③ 又2Tn=3×22+5×23+(2n-1)•2n+(2n+1)2n+1④ ④-③Tn=-3×21-2(22+23++2n)+(2n+1)2n+1-6+8-2•2n-1+(2n+1)•2n+1=(2n-1)•2n+2
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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