Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，．
（Ⅰ）求BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明MN⊥BC₁；
（Ⅲ）求二面角C-C₁B-M的大小．

Answer

（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，取M为AC的中点，可证得∠BC1M为BC1与侧面ACC1A1所成角．
（II）证明MN垂直面BMC1，用线面垂直依据线面垂直的定义证线线垂直．
（III）过C作CP⊥C1M于P，作CQ⊥C1B于Q，连接PQ，证明角CQP为二面角的平面角，由题设条件知，欲证CP垂直于C1B，可通过证CP垂直于C1BM来求证，
【解析】
（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC
∴CC1⊥BM，又M是正△ABC边AC的中点，
∴BM⊥AC，
∵CC1∩AC=C
∴BM⊥平面ACC1A1
∴∠BC1M为BC1与侧面ACC1A1所成角
又
∴sin∠BC1M=（5分）
（Ⅱ）证明：依题意得，，
因为MN2+C1M2=C1N2
∴MN⊥C1M由（Ⅰ）知BM⊥MN，而C1M∩BM=M，
所以MN⊥平面BC1M
所以MN⊥BC1（9分）
（Ⅲ）过C作CP⊥C1M于P，作CQ⊥C1B于Q，连接PQ
∵BM⊥平面ACC1A1
∴平面BMC1⊥平面ACC1A1
∴CP⊥平面BMC1，（11分）
又∵CQ⊥C1B
∴PQ⊥C1B
∴∠PQC是所求二面角C-C1B-M的平面角
∵，
∴
∴二面角C-C1B-M的大小为（14分）