先设出球的半径为R,根据求表面积公式求出R,并且求出AA′.
方法一三棱锥A-ABD的体积的两种算法:一种算法以A为顶点,则A到平面A′BD的距离设为h,算出体积;另一种以A′为顶点,则A′到平面ABD的距离为AA′,算出体积.相等得到答案.
方法二找出BD中点O,连接A′O过A作AH⊥A′O,垂足为H,由平面AA′O⊥平面A′BD,得到AH⊥平面A′BD,即AH为点A到平面A'BD的距离.利用三角形的面积法求出AH即可.
【解析】
设球半径为R,则S表=4πR2=24π,则R2=6,
由AC'=2R,
即A'A2+AB2+AD2=(2R)2,
得AA'=4.
法一等体积法,利用VA'-ABD=VA-A'BD.设点A到平面A'BD的距离为h,设O为BD
中点,连A′O,则A′O⊥BD,
易得,.
由,,
易求,
所以.
法二过A作AH⊥A′O,垂足为H,
∵平面AA′O⊥平面A′BD,
∴AH⊥平面A′BD,即AH为点A到平面A'BD的距离.
在RT△A′BD中,AA′•AO=AH•A′O,
即,得;
故答案是.