Question

如图，在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

画出图形，三棱锥O-BCD的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．
【解析】
AA'为正三棱锥A-BCD的高；OO'为正三棱锥O-BCD的高
因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比
已知三棱锥A-BCD的体积为1
所以，三棱锥O-BCD的体积为：…（1）
由前面知，FG∥CD且=
所以由平行得到，==所以，[面BCG所在的平面图如左上角简图]
同理，
则，
所以，PN∥BC
那么，亦即，设GQ=x
那么，GT=x
则，QT=GQ-GT=x-而，所以：
则，TO=QT=x=
所以：GO=GT+TO=所以，OQ=GQ-GO=x-
又，
所以，…（2）
且，
所以：…（3）
由（2）*（3）得到：代入到（1）得到：
三棱锥O-BCD的体积就是