Question

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和，，，试证明{S_n}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M，都有d_n≠M（n∈N^*）．
求证：数列{d_n}单调递增．

Answer

（Ⅰ）检验这2个数列中的各项是否满足①②2个条件．
（Ⅱ）{cn}是各项为正数的等比数列，求出公比和首项，得到通项公式，再计算其前n项和Sn，
判断Sn是否满足①②2个条件．
（Ⅲ）用反证法证明，若数列{dn}非单调递增，推出与题设矛盾，所以假设不对，命题得到证明．
【解析】
（Ⅰ）对于数列{an}，取=a2，显然不满足集合W的条件①，故{an}不是集合W中的元素．（2分）
对于数列{bn}，当nÎ{1，2，3，4，5}时，
不仅有，，，
而且有bn≤5，显然满足集合W的条件①②，故{bn}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，，，设其公比为q＞0，
∴，整理得，6q2-q-1=0
∴q=，∴（7分）
对于“n∈N*，有，且Sn＜2，
故{Sn}∈W，且M∈[2，+∞）．（9分）
（Ⅲ）证明：（反证）若数列{dn}非单调递增，则一定存在正整数k，使dk≥dk+1 成立，
当n=m+1时，由得  dm+2＜2dm+1-dm，
而dm+1-dm+2＞dm+1-（2dm+1-dm）=dm-dm+1≥0，所以dm+1＞dm+2 ．
显然在d1，d2，…，dk这k项中一定存在一个最大值，不妨记为，
所以，从而．这与题设dn≠M（n∈N*）相矛盾．
所以假设不成立，故命题得证．（14分）