Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．

Answer

法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到
平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1-CD-C1的平面角，设AD=x，
△DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA1上存在一点D满足题意．
解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°
∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1（1分）∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD（2分）
由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知，
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1（4分）
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD⊂平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）

（Ⅱ）【解析】
当时二面角B1-CD-C1的大小为60°．（7分）
假设在AA1上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．
如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD
所以∠B1EC1为二面角B1-CD-C1的平面角（8分）
∴∠B1EC1=60°
由B1C1=2知，（10分）
设AD=x，则
∵△DCC1的面积为1∴
解得，即
∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）

解法二：
（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1
所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．
即（2分）
由得
由得（4分）
又DC1∩C1B=C1
∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD
∴平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）

（Ⅱ）当时二面角B1-CD-C1的大小为60°．（7分）
设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），

设平面B1CD的法向量为
则由令z=-1
得（8分）
又∵为平面C1CD的法向量
则由（10分）
解得，故．
∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）