Question

中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？

Answer

（1）根据题意先设出抛物线的方程，根据题意可知O，B的坐标和A的纵坐标，把（0，0）点代入抛物线方程求得c，点A的纵坐标求得a，b和c的关系把（2，-10）代入抛物线方程求得a，b令一关系式，联立求得a和b，则抛物线方程可得．
（2）把x═3-2代入抛物线方程求得y，进而求得运动员距水面的高度，与5进行比较判断出答案．
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，运动员很难做到．故可看当y＜0时，要使跳水不出现失误y的范围，进而利用二次函数的单调性求得x的范围．
【解析】
（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c．
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），且顶点A的纵坐标为，c=0，
所以有=，
4a+2b+c=-10．a=-，
解之得b=，c=0
或a=-，b=-2，c=0．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-＞0．
又∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∴b＞0，后一组解舍去．
∴a=-，b=，c=0．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x．
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3-2=时，
y=（-）×（）2+×=-，
∴此时运动员距水面的高为
10-=＜5．
因此，此次跳水会出现失误．
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到．
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，
则应有|y|≤10-5，即-y≤5．
∴有x2-x≤5，
解得2-≤x≤2+．
∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m．