Question

设复数z₁，z₂满足z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．
（Ⅰ）若z₁，z₂满足-z₁=2i，求z₁，z₂；
（Ⅱ）若|z₁|=，是否存在常数k，使得等式|z₂-4 i|=k恒成立，若存在，试求出k；若不存在说明理由．

Answer

（1）利用条件-z1=2i化简z1z2+2i z1-2i z2+1=0．保留z1，再求解．
（2）将z1z2+2i z1-2i z2+1=0．求出化简z1，用|z1|=，解z2然后求出k即可．
【解析】
（Ⅰ）由=z1+2i，两边同时取共轭复数可得：z2=-2i．
代入已知方程得：z1（-2i）+2iz1-2i（-2i）+1=0．
即|z1|2-2i-3=0．令z1=a+bi，
即可得到a2+b2-2i（a-bi）-3=0．
即（a2+b2-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z1=3i，z2=-5i，或z1=-i，z2=-i．
（Ⅱ）由已知得z1=．又∵|z1|=，
∴||=．
∴|2iz2-1|2=3|z2+2i|2．
∴（2iz2-1）（-2i-1）=3（z2+2i）（-2i）．
整理得：z2+4iz2-4i-11=0．
即（z2-4i）（+4i）=27．
∴|z2-4i|2=27，
即|z2-4i|=3．
∴存在常数k=3，使得等式|z2-4i|=k恒成立．